Topoloji, eski Yunanca’da yüzey veya uzay anlamına gelen “topos” ve “bilim” anlamına gelen “logos” kelimelerinden türetilmiştir. Dolayısıyla topoloji uzaylar veya yüzeyler bilimidir. Topoloji, matematiğin bir dalı olarak 19. yüzyılın sonlarında ünlü Fransız matematikçi Henri Poincaré’nin çalışmaları ile sistematik oluşumuna başlamıştır. Poincaré, “Topoloji, geometrik şekillerin, sadece alışılmış uzayda değil, üçten fazla boyutlu uzaylarda da niteliklerini öğrenmemizi sağlayan bir bilimdir” der. Topolojik geometride amaç, nesneleri yırtmadan ve koparmadan, eğip bükerek bir başka nesneye dönüştürebilmektir. Topolojik nesnelerin en bilineni August Ferdinand Möbius tarafından tanımlanan Möbius Şerididir.
Topoloji, bir şeklin sürekli bükülerek ve esnetilerek yeni şekiller elde edilmesi ve bu şekillerin özellikleri ile ilgilenen, matematiğin alt dallarından biri olduğu için Möbius şeridi, topolojinin çalışma konuları arasında yer alır. Bu tür deformasyonlarla bir nesnenin geometrisi değişirken yüzey topolojisi değişmez.
Maurits Cornelis Escer, Mobius Strip (Möbius şeridi, Escher sayesinde sanatsal bir görünüm alır)
Möbius şeridi, sonsuzluğu ifade eden sembole benzerliği ile bilinir. Möbius şeridi, 1858 yılında iki Alman matematikçi August Ferdinand Möbius ve Johann Benedict Listing tarafından birbirlerinden bağımsız olarak keşfedilir. Möbius şeridinin meşhur olmasının sebebi iki farklı yüzü (ön ve arka) olan bir kâğıt parçasıyla tek yüzlü bir cisim oluşturulabilmesidir.
Möbius şeridi, uzunca bir şeridin bir ucunu 180 derece bükerek diğer ucu ile birleştirilmesiyle elde edilen tek yüzlü tek kenarlı şerittir. Tek yüzü olduğu için Möbius şeridinin üzerindeki bir noktadan hareket etmeye başlandığında bütün alan taranarak aynı noktaya geri dönülür. İnce, uzun dikdörtgen şeklindeki bir kâğıt parçasının uçlarını, uçlardan birini 180º döndürüp, birbirine yapıştırarak Möbius şeridini elde edebiliriz.
Nina Valetova, Mobius Strip
Möbius şeridinin kaç yüzü vardır? İki gibi gözüküyor; ancak Möbius şeridinin iki değil bir yüzü vardır. Möbius şeridinin önünden arkasına geçebilirsiniz; ayrıca Möbius şeridinin bir kenarını durmadan izlerseniz, başladığınız yere dönersiniz. Möbius şeridinin tek yüzü olduğuna kendimizi ikna etmek için, şeridin herhangi bir noktasından başlayıp ileri doğru düz çizgi çizebiliriz. Bu çizgi ile tüm şeridi dolaşıp başladığımız noktaya tekrar geliriz. Burada katettiğimiz mesafe, kâğıt parçasının ön ve arka yüzünün toplamı kadardır.
İnce, uzun dikdörtgen şeklindeki kâğıdın uçlarını birbirine herhangi birini döndürmeden yapıştırdığımızda ise elde edilen şeridin iki farklı yüzü olur. Bu silindirik şeridin herhangi bir noktasından başlayarak çizgi çizdiğimizde ise şeridin tek tarafını yani yarısını dolaşırız. Ayrıca bu şeridi ortasına çizilen bir çizgi boyunca kestiğimizde iki farklı şerit elde ederiz.
Peki, Möbius şeridini ortasına çizilen bir çizgi boyunca kestiğimizde şerit iki parçaya ayrılır mı veya bunun sonucunda nasıl bir şekil oluşur?
Möbius şeridi ortasına çizilen bir çizgi boyunca kesilirse kaç şerit elde edeceksiniz? İki ayrı şerit yerine iki döngüsü olan uzun bir şerit elde edilmesi hayli ilginçtir. Hatta Möbius şeridi genişliğinin üçte biri boyunca kesildiğinde elde edecek şekil daha da şaşırtıcıdır. Çünkü bu defa birbirine kenetlenmiş iki şerit elde edilir. Biri uzun, diğeri kısa olan bu şeritlerden uzun olanı iki döngüye sahiptir, kısa olanı ise başka bir Möbius şerididir.
Joaquin Baldwin, Mobius Nautilus
Möbius şeridi çeşitli alanlarda da kullanılır. Örneğin havalimanlarında bavulları taşıyan bantlar çok büyük Möbius şeritleri olarak tasarlanır. Böylece bantların tüm yüzeyi eşit miktarda aşınır ve daha uzun süre dayanması sağlanır. Möbius şeritleri ayrıca kaset kayıtlarında da kullanılır. Mobius şeridinin tek yüzeyi olduğundan, yüzey alanını artırıp aşınmayı azaltacağından mekanik aletlerdeki kayışları Mobius şeridi şeklinde bağlamak yararlıdır. Bu yüzden bu tip yüzeyler sanayide oldukça kullanılmaktadır.
World Street Painting (Hollanda), M. C. Escher’in Moebius Şeridi
Gizemli Möbius şeridi, bazı sanatçılara ve mimarlara da ilham verdi. Bunlardan en bilineni Maurits Cornelis Escher’in bir karınca ailesinin şeridin tek ve hiç bitmeyen yüzeyinden geçtiğini resmettiği eserdir.
Max Bill, Endless Ribbon, 1953
Möbius şeridini içeren sanat eserleri arasında Corrado Cagli’nin 1947 tarihli isimsiz bir tablosu, heykeltraş Max Bill’in 1953 tarihli Sonsuz Şerit (Endless Ribbon) adlı eseri, José de Rivera’nın Sebastián adlı çalışmaları da dahil olmak üzere, matematiksel heykelin popüler konusudur. Ressam John Robinson 1982 tarihli Ölümsüzlük (Immortality) adlı eserinde, yonca düğümlü bir Möbius şeridi kullanmıştır. Heykeltraş Charles O. Perry’nin 1976 tarihli Süreklilik (Continuum) adlı yapıtı da, Möbius şeridinin varyasyonlarını araştıran birkaç eserinden biridir.
1970 yılında tasarlanan geri dönüşüm için tanıdık üç oklu logo, Möbius şeridinin düz üçgen biçimine dayanmaktadır, tıpkı çevre temalı Expo 74’ün logosu gibi. Geri dönüşüm sembolünün bazı varyasyonları, bir yerine üç yarım büküm ile farklı bir gömme kullanır ve Google Drive logosunun orijinal versiyonu, diğer benzer tasarımlarda olduğu gibi, düz katlanmış üç bükümlü bir Möbius şeridi kullanır. Brezilya’nın en önemli araştırma ve eğitim kurumu Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada’nın (IMPA), logosunda stilize edilmiş bir Möbius şeridi kullanır ve binalarında sergilenen büyük bir Möbius şeridi heykeline sahiptir. Möbius şeridi, Brezilya, Belçika, Hollanda ve İsviçre gibi ülkelerin posta pullarının sanat eserlerinde de yer alır.
Charles O. Perry, Contınuum, 1976
Möbius şeritleri, bina ve köprülerin mimari tasarımı için de sıklıkla ilham kaynağı olmuştur. Bununla birlikte, bunların çoğu, inşa edilmiş nesnelerden ziyade proje veya kavramsal tasarımlardır veya Möbius şeridinin yorumunu matematiksel bir form veya mimarinin işlevsel bir parçası olarak tanınabilirliğinin ötesine taşır. Kalınlaştırılmış bir Möbius şeridi şeklinde bir binanın planlandığı ancak orijinal mimarlar projeden çekildikten sonra farklı bir tasarımla yenilenen Kazakistan Ulusal Kütüphanesi buna örnek verilebilir. Bir Möbius şeridi içeren dikkate değer bir bina, NASCAR Onur Listesi’dir. Bir cephe ve kanopi görevi gören ve yarış pistlerinin kavisli şekillerini çağrıştıran büyük bir bükülmüş paslanmaz çelik şerit ile çevrilidir. Daha küçük bir ölçekte, Pedro Reyes’in 2006 tarihli Moebius Chair’i tabanı ve kenarları Möbius şeridi şeklinde olan bir kur yapma bankıdır.
Ünlü heykeltraşımız İlhan Koman, “3-D Möbius Türevleri ve Piramitler” adı altındaki serisinde Möbius formunu kullanmıştır. Koman’ın Möbius uygulamalarından biri Stockholm Şehir Terminalinde yer alır. 1980’lerin başında tasarımcı Elizabeth Zimmermann’ın çalışmasından bu yana eşarplarda da Möbius şeritleri kullanılır. Yiyecek sektöründe şekillendirmede, dilimlemede (makarna, simit vs.) Möbius şeritleri kullanılmıştır.
Kazakistan Ulusal Kütüphanesi
Pedro Reyes, Moebius Chair, 2006
Ünlü Matematikçi Felix Christian Klein tarafından 1882 yılında keşfedilen Klein Şişesi, dışı olan fakat içi olmayan bir şişedir. Kendisinin içinden geçer; içine su konulmaya çalışılırsa, dökülen su aynı delikten dışarı çıkar. Klein şişesi artistik bir biblo olmasının ötesinde, matematiksel bir değer taşır. Her şeyden önce topolojik bir nesnedir. Günümüzde matematikçiler bilgisayarlarda gösterişli modelleme yöntemleriyle, cisimleri çekiştirip, ters yüz ederek topolojik çalışmalar yapmaktadırlar. Topoloji ile uğraşanların en gözde geometrik nesnelerinden biri belki de Klein şişesidir.
Klein Şişesi, Möbius Şeridi gibi tek yüzeye sahip olmasına rağmen, Möbius şeridi üç boyutlu öklid uzayında yapılabilirken, Klein şişesinin yapılabilmesi için dört boyutlu bir uzaya ihtiyaç vardır. Klein şişesi imkânsız şekillerden biridir. İçi ya da dışı yoktur, hacmi sıfırdır, 3 boyutlu bir şekli bulunamaz, birbiri içinden kesişmeden geçtiği için, ifadesinde 4. boyut gerekmektedir. Çember şeklinde tekillik içeren 3 boyutlu modelleri yapılabilmektedir. İki adet mobius şeridinin birleşimi ile de elde edilebilir.
Klein şişesi, Möbius şeridinin tuhaf özelliklerini taşıyan tam anlamıyla 3 boyutlu bir geometrik nesnedir. İkisinin de ortak en önemli özellikleri tek yüzlerinin olmasıdır. Bu tuhaf şişenin hilesi, yüzeyinin kendisiyle kesişiyor olmasıdır. Kesişim büyüyü bozuyor olsa da; 3 boyutlu bir cisimde önlenemeyen ancak 4 boyutta tanımlandığında çözülebilen bir süreksizlik problemidir.
Mark Blome, Klein Bottle
Bir Klein şişesi, boylamasına kesildiğinde iki adet Mobius şeridine dönüşür. Buna ek olarak, Klein Şişesi yine kesilerek tek bir Mobius şeridine de dönüştürülebilir.
Klein şişesinin iç yüzeyi kendini kapsar bu nedenle bu şişeden su içilmesi mümkün değildir. Klein şişesi tıpkı bir küre gibi kapalı ve aslında sonludur. İçerisine bir karıncanın bırakıldığı düşünülürse karınca hiçbir sınır ile karşılaşmadan sonsuza kadar yürüyebilir. Bu yüzden sınırsız olarak algılanabilir. Klein şişesi, bir yüzeyin iki yanının birleştirilmesi ile oluşturulan silindirin, iç ve dış tarafının birleşeceği şekilde kendi içinden geçirilip geriye döndürülmesi ile oluşturulur.
Klein şişesi sanat yapıtları, bulmaca, oyun hatta şiirlere konu olmuştur. Minnesota Üniversitesi Geometri Merkezi’nde, Klein şişesine ait sayısız resim, animasyon ve satranç programı bulmak mümkün.
Kaynak
Algımızı Zorlayan Nesne: Möbius Şeridi, Bachelard ve Möbius, Topolojik Düğümler (Çin Düğümler), Möbius Şeridi Ve Klein şişesi, Mobius şeridi ve klein şişesi nasıl yapılır, Möbiüs, Necip Erdoğan, Ortaöğrenim Geometri Ders Programına Yeni Konu Önerisi: Topoloji, Topolojik Nesnelerin FDM (Ergiyik Biriktirerek Modelleme) Yöntemiyle Üretimi: Klein Şişesi Örneği, Rektifiyan Açılabilir Yüzeylerin Geometrisi, Bir Matematikçinin Sihirli Oyuncağı: Klein Şişesi
