Pisagor Teoremi, asal sayılar, faktöriyeller gibi matematik dünyasının önemli kavramlarını ve teoremlerini, bunlarla ilgili detaylı bilgileri derledik.
1. Pisagor Teoremi
Pisagor, M.Ö 6. yüzyılda yaşamış bir Yunan filozofu ve rakamlara ibadet eden bir tarikatın lideriydi. Tarikatı, ilk dört rakama dua ederdi. Bir, aklı, iki, çatışmayı, üç, uyumu ve dört, adaleti temsil ederdi. Matematik dinlerinden, Pisagor’un adının verildiği ispatı, Pisagor Teoremi’ni de içine alan insanlık tarihindeki en mükemmel geometrik ispatlardan bazıları ortaya çıktı.
Pisagor Teoremi, tüm dik üçgenler (90 derecelik açısı olan üçgenler) için, a ve b’nin üçgenin kısa kenarları olduğu ve c’nin de en uzun kenar, hipotenüs olduğu durumda a²+b²=c² olduğunu basitçe belirtir. Efsaneye göre Pisagor, teoremi ispat ettiğinde o kadar heyecanlanmış ki bir boğayı kurban etmiş.
Elbette birçok kültür, teoremi Pisagor ispat etmeden de biliyordu. Babilliler, a²+b²=c² olduğunu Pisagor’un zamanından en az 1000 yıl önce biliyorlardı ve antik Mısırlılar muhtemelen formülü M.Ö 2550 civarında piramitleri inşa etmek için kullandılar. M.Ö 600 yılıyla beraber Çin’de, Hindistan’da ve Mezopotamya’nın çoğunda da bu bilgi biliniyordu. Pisagor’a, Batı kültüründe onu ispat eden ilk kişi olmasıyla önem atfedilir. Pisagor Teoremi’nin bugün yüzlerce ispatı mevcut ve bu, sadece onlardan biridir.
- Bir Pisagor üçlüsü, üç doğal sayıdan (a, b, c) oluşan kümedir ve a²+b²=c²’dir. İyi bilinen iki örnek 3, 4, 5 ve 5, 12, 13’tür.
- Başkan James Garfield, 1876’da Pisagor Teoremi’ne kendi ispatını yazdı.
- Çin’de teoreme, Gougu Teoremi dendi ve ilk kez M.Ö 500 ile M.S 200 arasında tarihlenen bir matematik kitabında göründü.
2. Fermat’ın Son Teoremi
1637’de matematikçi Pierre de Fermat, Arithetica adlı kitabın kopyasının kenarına yazdığı gizemli bir notta, “n, 2’den büyük ve x, y, z ve n pozitif tamsayılar olmak koşuluyla xⁿ + yⁿ = zⁿ” denkleminin çözümünün olmadığını belirtti. Bu iddia için gerçekten mükemmel bir ispatı vardı, ama onu yazmak için kenarda yeteri kadar boş alanı yoktu.
Herhangi bir kişinin bildiği kadarı ile Fermat, asla ispatını bir yere kaydetmedi. Matematikçiler, yüzyıllarca bunu tekrar bulabilmeyi defalarca denediler. Diğerleri, Fermat’ın bunu ilk anda ispat edip etmediğinden şüpheye düşerek teoremi kendileri çözmeye çalıştılar. Bazıları, bunun imkansız olduğuna inanarak denemeyi bıraktılar. Yazdığı son teorem olmasından dolayı değil, ama asla doğrulanamayan tek teoremi olmasından dolayı Fermat’ın son teoremi olarak bilindi. x²+y²=z² denklemini çözen x, y ve z tam sayıları olduğu iyi bilinir. Pisagor üçlüleri olarak da bilinirler ve sayısız böyle rakam vardır. Örneğin, 3, 4 ve 5’i alalım.
3²+4²=5² –> 9+16=25
Ama bu durum x³+y³=z³ (n=3) veya x⁴+y⁴=z⁴ (n=4) olduğunda geçerli değildir. Bu denklemlerde n’nin özel durumları birçok kere ispatlanmasına rağmen, n’nin 2’den büyük herhangi bir sayıya eşit olabildiğini ispatlamak insanlığın 357 senesini aldı. Cevap, 1995’te Princeton Üniversitesi’nden Profesör Andrew Wiles’tan geldi. Matematiğin, meşhur eliptik eğrilerinin ve modüler formlarının görünürde bağlantısız dallarını birleştirerek, nesillerdir matematikçilerin kafasını kurcalayan problemi çözen 150 sayfalık bir ispat yazdı. Wiles, Fermat’ın o zamanlar bilemeyeceği birçok yirminci yüzyıl tekniğini kullandı. Bu nedenden dolayı Wiles, Fermat’ın bu teoremi asla ispat etmediğine inanır.
- Wiles, on yaşındayken Fermat’ın son teoremine kafayı takmaya başladı. Her zaman, teoremi ispat etmenin kendi kaderi olduğuna inandı.
- Yaşamının sonlarında Fermat, n=4 olduğu özel durumun bir ispatını yazdı. Pek çok matematikçi, onun gerçekten de 2’den büyük tüm n’ler için olan genel durumu ispat etmiş olsaydı, n=4 için olan özel durumu yazmak için uğraşma ihtiyacı duymayacağı tahmininde bulunurlar. Bunu, Fermat’ın teoremini asla ispat etmediğinin daha ileri bir kanıtı olarak ele alırlar.
3. Faktoriyeller
Matematikteki ! sembolü, göründüğü kadar eğlencelidir. Eğer n! yazarsanız, n faktöriyel diye okunur. Bir sayının faktöriyeli, sayının kendisinden az olan veya kendisine eşit olan sıfırdan büyük tüm tam sayıların çarpımıdır. Örneğin 6’nın faktöriyeli şöyledir: 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720. 12’nin faktöriyeli de 12! = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 479,001,600.
Faktöriyeller, sayı kuramında, olasılıklarda ve bilgisayar bilimlerinde çok önemlidir. Günlük hayatta, belirli bir grup nesnenin bir sıralamada düzenlenme yollarının sayısını bulmak için kullanılır. Örneğin, bir raf üzerindeki altı kitabı kaç farklı şekilde düzenleyebileceğinizi bulmak istediğinizi hayal edin. İlk sırada içinden seçmek için altı kitabınız var. İkinci sırada, seçmek için beş kitabınız var. Üçüncü sırada, seçmek için dört kitabınız var. Dördüncü sırada üç kitabınız var. Beşinci sırada iki kitabınız var. Son olarak tek kitabınız. Kitapların düzenleyebileceğiniz şekillerinin sayısını hesaplamak için bu sayıları çarpabilirsiniz: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 6! = 720.
İlginçtir ki, sıfırın faktöriyeli 1’e eşittir: 0! = 1. Neden? Bir raf üzerinde sıfır nesneyi düzenlemeye çalıştığınızı bir an hayal edin. Bunu yapmanın kaç farklı yolu vardır? Cevap, tabii ki bir.
- Matematikçi Christian Kemp, 1808’de n! sembolünü tanıttı.
- Faktöriyeller, aynı zamanda aşırı derecede büyük asal sayıları bulmak için de kullanılabilir.
- Matematikte başka tip faktöriyeller vardır: Çoklu faktöriyeller, hiper faktöriyeller, süper faktöriyeller ve süperötesi faktöriyeller gibi.
4. Normal Eğri
Normal eğri, istatistiğin belli kümeleri için dağılım modelini tarif eder. Örneğin, boy uzunluğu ve zeka test sonuçları, çoklukla normal bir eğriye denk düşer. Eğrinin bir çan şekli vardır, bu nedenle ona sıklıkla çan eğrisi de denir.
Normal bir eğride merkez değerlerin (aritmetik ortalama, medyan ve mod) hepsi de aynıdır. Bu, ortalama değerin (aritmetik ortalama) ortadaki değere (medyan) eşit olduğu ve aynı zamanda en sık rastlanan değere (mod) de eşit olduğu anlamına gelir. Örneğin, Amerikalı kadınlarda boy uzunluğunun normal dağılımında ortalama uzunluk 165 cm’dir. 165 cm’den daha uzun kadınlar olduğu kadar 165 cm’den daha kısa kadınlar da vardır ve Amerikalı kadınlar için en yaygın boy uzunluğu 165 cm’dir.
Normal eğriler, ne genişlikte veya ne yakınlıkta değerlerin merkezi bir değer çevresinde dağıldığını tarif eden varyans ve standart sapma hakkında bilgiyi de içerir. Diyelim ki bir grup çocuğa bir test verilsin. Ortalama değer C olmasına rağmen bazıları başarısız olur, diğerleri ise A, B, C ve D gibi notlar alırlar. İkinci bir testte çocuklar çoğunlukla C notu alırlar ve ortalama değer C’dir. İlk testin daha yüksek bir varyansı olduğu söylenirken, ikinci testin daha düşük varyansı olduğu söylenir.
Standart sapmalar, varyansın bir ölçümüdür. Normal eğride değerlerin %68’i, ortalamanın bir standart sapması içindedir, %95’i ortalamanın iki standart sapması içindedir ve %99.7’si üç standart sapması içindedir. Bu, ampirik kural olarak bilinir ve çoğunlukla sadece 68 – 95 – 99.7 olarak ifade edilir. IQ ölçümlerinde 100 puan, merkez değeridir (aritmetik ortalama, medyan ve mod). 145 puan, ortalamadan üç standart sapmadır ve 65 puan, yine ortalamadan üç standart sapmadır. Bu, her 2000 kişiden üçünün 145’ten yukarı bir puana sahip olabileceği ve her üçünün de 65’ten daha aşağı bir puana sahip olabileceği anlamına gelir.
- Normal eğri, ilk kez 1733’te Abraham de Moivre tarafından saptandı.
- Normal eğriye, Carl Friedrich Gauss’tan sonra sıklıkla Gauss eğrisi de denir. Özelliklerinden birçoğunu keşfetmesine rağmen onu kendisi icat etmedi. Yüzü, 10 Alman frangı banknotlarının üzerindeydi.
- Yetişkinlerdeki kan basıncı, çan eğrisi şeklinde dağılım gösterir.
- Tek bir kaynaktan çıkan ışık yoğunluğunun varyasyonu da normal dağılım gösterir.
5. Gerçek Sayılar
Gerçek sayılar, günbegün hayatımızda karşılaştığımız sayılardır. Gerçek sayılar kümesi, sayı doğrusunda temsil edilebilen tüm sayılardan oluşur. Sayma sayıları, doğal sayıları, tam sayıları, rasyonel sayıları ve irrasyonel sayıları kapsar.
Sayma sayıları, 1 sayısı ile başlayan sayma sayılarıdır. İnsanın bildiği en eski sayılardır. Bir kişi, bir mağara adamının parmaklarında sayıları (1, 2, 3, 4, 5…) keşfetmesini hayal edebilir. İnsanlığın erken dönem tarihindeki birçok kültür, aynı zamanda sıfır kavramını da icat etti. Sıfır, sayma sayısı değildir, ama doğal sayıdır. Doğal sayılar kümesi 0, 1, 2, 3, 4, 5… şeklinde başlar.
Matematik karmaşıklaştıkça insanlar, küçük bir sayıdan daha büyük bir sayıyı çıkardığınızda ne olabileceğini sormaya başladılar. Negatif sayılar fikri oluşmaya başladı, ama yıllarca matematikçiler, denklemlere çözüm olarak negatif sayıları kabul etmeye gönüllü değillerdi. Yine de, negatif sayılar olmaksızın borcu hesaplamak imkansızdır. Negatif ve pozitif tamsayıların bütününü kapsayan kümeye, tam sayılar kümesi denir.
Tam sayılardan sonra kesirli sayılar veya rasyonel sayılar kavramı gelir. Tüm rasyonel sayılar, 5/3 veya 1/8 veya -5/3 gibi tam sayıların oranları olarak yazılabilir. Tüm tam sayılar, aynı zamanda rasyonel sayılardır.
Sayılara tapınan bir antik Yunan tarikatı olan Pisagorcular, π ve 1’in karekökü gibi tam sayıların oranları olarak ifade edilemeyen bazı sayıları keşfettiklerinde sarsıldılar ve dehşete düştüler. Ama bu rakamlar kesinlikle vardır ve bir çemberin çevresini ve bir üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu bulmak gibi problemleri çözmek için kullanılabilirler. Bunlara irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayıların ondalıklı temsilleri, bir modelde tekrarlamaksızın sonsuza dek devam eder.
- Negatif sayılar, M.S 600 civarında Hintli matematikçiler tarafından bulundu, ama Avrupa’da 1600’lere kadar benimsenmedi.
- Mısırlılar, M.Ö 1000 civarında kesirleri kullanmaya başladılar.
6. Asal Sayılar
Bir asal sayı, sadece 1’e ve kendisine tam olarak bölünebilen, 1’den büyük olan doğal sayıdır. 2, en küçük asal sayıdır ve tek çift asal sayıdır. 3, 5 ve 7 de aynı zamanda asal sayılardır, ama 89, 2521 ve 1.299.007 de öyledir. Aritmetiğin temel kuramı, birden büyük her doğal sayının asal sayıların bir ürünü olarak yazılabileceğini belirtir. Bu şekilde asal sayılar, tüm pozitif sayıların yapı taşlarıdır. Örneğin, 209.328 sayısı asal faktörlerin bir ürünü olarak da yazılabilir: 209,328 = 2⁴ x 3 x 7² x 89. İki veya daha fazla asal sayının ürünü olan tüm sayılara, bölünebilir sayılar denir. Örneğin, 6, bölünebilir bir sayıdır (2 x 3).
Sonsuza dek giden pek çok asal sayı vardır. İskenderiyeli Öklid (Euclid), ilk kez bu gerçeği M.Ö 3. yüzyılda kanıtladı. İspatı basit ve şıktı. Bizden, asal sayıların sonlu bir kümesi olmadığı gerçeğinin zıddını varsaymamızı ister. O sayıların hepsini birlikte çarpın: 2 x 3 x 5 x 7… X, kümenin en büyük sayısı olsun ve ona 1 ekleyin. Yeni oluşan sayıyı herhangi bir asal sayı ile bölerseniz, her zaman elinizde 1 kalacaktır. 1 eklemek, yeni bir asal sayı yarattı. Böylece, her zaman bulunabilecek yeni asal sayılar vardır.
Asal sayılarla model kurmak, matematikte bugün en büyük zorluklardan biridir. Matematikçiler, halen tüm zamanların en büyük asal sayılarını buluyor olmalarına rağmen, tüm asal sayıları yaratabilecek, her şeyi kapsayan tek bir formülü henüz geliştiremediler.
- 2016 Ocak ayı itibariyle bilinen en büyük asal sayı, 2^74,207,281 – 1’dir. Bu da 22.338.618 basamaklıdır.
- Halen cevaplanmamış, asal sayılara dair pek çok soru vardır. Örneğin ikiz asalların, 3 ve 5, 101 ve 103, 2141 ve 2143 gibi, aralarında iki fark olan sonsuz bir rakamı var mıdır? Şimdilik bilen yok.
- Temas (1997) adlı filmde Jodie Foster’ın karakteriyle temasa geçen yabancılar, zekalarını ve evrensel dil olarak matematiği anladıklarını göstermek için asal sayılardan oluşan bir liste iletirler.
Kaynak
Entellektüelin Kutsal Kitabı – David S. Kidder, Noah D. Oppenheim
